Matematika Wajib kelas 12 semester 1 menjadi fondasi penting untuk pemahaman konsep matematika yang lebih mendalam di jenjang selanjutnya. Materi yang dipelajari dalam semester ini meliputi dimensi tiga, statistika, dan peluang. Penguasaan materi ini tidak hanya penting untuk meraih nilai yang baik, tetapi juga untuk membangun kemampuan berpikir logis dan analitis yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari.
Artikel ini akan menyajikan contoh-contoh soal beserta pembahasan lengkap untuk masing-masing materi, membantu Anda memahami konsep, mengasah kemampuan problem-solving, dan mempersiapkan diri secara optimal menghadapi ujian.
I. Dimensi Tiga: Jarak Titik, Garis, dan Bidang
Dimensi tiga merupakan cabang geometri yang mempelajari objek-objek dalam ruang tiga dimensi. Dalam konteks ini, kita akan fokus pada perhitungan jarak antara titik, garis, dan bidang.
Konsep Kunci:
- Jarak Titik ke Titik: Menggunakan teorema Pythagoras dalam ruang tiga dimensi.
- Jarak Titik ke Garis: Menggunakan proyeksi titik pada garis atau menggunakan rumus luas segitiga.
- Jarak Titik ke Bidang: Menggunakan proyeksi titik pada bidang atau menggunakan rumus jarak titik ke bidang.
- Jarak Garis ke Garis: Menemukan garis tegak lurus persekutuan atau menggunakan rumus jarak garis sejajar.
- Jarak Garis ke Bidang: Memastikan garis sejajar bidang dan mencari jarak titik pada garis ke bidang.
- Jarak Bidang ke Bidang: Memastikan bidang sejajar dan mencari jarak titik pada salah satu bidang ke bidang lainnya.
Contoh Soal dan Pembahasan:
Soal 1: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara titik A ke titik C.
Pembahasan:
Titik A dan C adalah titik-titik sudut yang berhadapan pada satu sisi kubus. Jarak AC merupakan diagonal sisi kubus. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC:
AC² = AB² + BC²
AC² = 6² + 6²
AC² = 36 + 36
AC² = 72
AC = √72 = 6√2 cm
Jadi, jarak antara titik A ke titik C adalah 6√2 cm.
Soal 2: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara titik A ke garis CG.
Pembahasan:
Garis CG adalah rusuk tegak kubus. Jarak titik A ke garis CG adalah panjang garis tegak lurus dari A ke CG. Garis tersebut adalah AC. Kita sudah mengetahui bahwa AC adalah diagonal sisi kubus.
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 8²
AC² = 64 + 64
AC² = 128
AC = √128 = 8√2 cm
Jadi, jarak antara titik A ke garis CG adalah 8√2 cm.
Soal 3: Diketahui limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 4 cm dan tinggi limas 6 cm. Tentukan jarak titik T ke bidang ABCD.
Pembahasan:
Jarak titik T ke bidang ABCD adalah tinggi limas itu sendiri.
Jadi, jarak titik T ke bidang ABCD adalah 6 cm.
Soal 4: Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, BC = 9 cm, dan AE = 6 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BDG.
Pembahasan:
Soal ini membutuhkan visualisasi yang baik. Bidang BDG membentuk segitiga dalam balok. Jarak titik A ke bidang BDG sama dengan tinggi segitiga ABD dari titik A ke garis BD. Kita dapat menggunakan rumus luas segitiga untuk mencari tinggi tersebut.
- Luas Segitiga ABD: Luas ABD = (1/2) AB AD = (1/2) 12 9 = 54 cm²
- Panjang BD: BD² = AB² + AD² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, maka BD = √225 = 15 cm
- Tinggi Segitiga ABD (Jarak A ke BD): Luas ABD = (1/2) BD tinggi, maka 54 = (1/2) 15 tinggi, sehingga tinggi = (54 * 2) / 15 = 7.2 cm
Sekarang kita perlu mencari jarak titik A ke bidang BDG. Kita dapat membayangkan sebuah segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik A, titik di BDG yang terdekat dengan A (sebut titik P), dan titik di bawah A yang tegak lurus ke bidang BDG (sebut titik Q). AP adalah jarak yang kita cari. AQ adalah tinggi segitiga ABD yang kita hitung tadi (7.2 cm). PQ adalah bagian dari AE yang sejajar dengan bidang BDG.
Kita dapat menggunakan rumus:
1 / AP² = 1 / AQ² + 1 / (AE² – PQ²)
Karena PQ sulit dihitung langsung, kita gunakan cara lain. Perhatikan bahwa jarak titik A ke bidang BDG (AP) adalah sama dengan 1/3 dari panjang garis tegak lurus dari titik A ke bidang BDG yang melewati titik O (perpotongan diagonal AC dan BD). Garis tegak lurus ini adalah garis yang sejajar dengan EG.
Jadi, AP = (AB AD AE) / √(AD²AE² + AB²AE² + AB²AD²) = (12 9 6) / √(9²6² + 12²6² + 12²9²) = 648 / √(2916 + 5184 + 11664) = 648 / √19764 = 648 / 140.58 = 4.61 cm (kira-kira)
Jadi, jarak antara titik A ke bidang BDG adalah sekitar 4.61 cm.
II. Statistika: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran Data
Statistika mempelajari cara mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Dalam semester ini, kita fokus pada ukuran pemusatan (mean, median, modus) dan ukuran penyebaran (jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, simpangan baku).
Konsep Kunci:
- Mean (Rata-rata): Jumlah semua data dibagi banyaknya data.
- Median (Nilai Tengah): Nilai yang membagi data terurut menjadi dua bagian sama besar.
- Modus (Nilai yang Sering Muncul): Nilai yang memiliki frekuensi tertinggi.
- Jangkauan (Range): Selisih antara nilai tertinggi dan nilai terendah.
- Simpangan Rata-rata: Rata-rata dari nilai absolut selisih setiap data dengan mean.
- Variansi: Rata-rata kuadrat selisih setiap data dengan mean.
- Simpangan Baku: Akar kuadrat dari variansi.
Contoh Soal dan Pembahasan:
Soal 1: Data berat badan (dalam kg) 10 siswa adalah: 45, 50, 52, 48, 55, 49, 51, 47, 53, 50. Tentukan mean, median, dan modus data tersebut.
Pembahasan:
- Mean: (45 + 50 + 52 + 48 + 55 + 49 + 51 + 47 + 53 + 50) / 10 = 500 / 10 = 50 kg
- Median: Urutkan data: 45, 47, 48, 49, 50, 50, 51, 52, 53, 55. Karena jumlah data genap, median adalah rata-rata dari data ke-5 dan ke-6: (50 + 50) / 2 = 50 kg
- Modus: Nilai 50 muncul dua kali, lebih banyak dari nilai lainnya. Jadi, modus = 50 kg
Jadi, mean = 50 kg, median = 50 kg, dan modus = 50 kg.
Soal 2: Data nilai ulangan matematika 5 siswa adalah: 7, 8, 6, 9, 5. Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, variansi, dan simpangan baku data tersebut.
Pembahasan:
- Jangkauan: Nilai tertinggi = 9, nilai terendah = 5. Jangkauan = 9 – 5 = 4
- Mean: (7 + 8 + 6 + 9 + 5) / 5 = 35 / 5 = 7
- Simpangan Rata-rata:
- |7-7| = 0
- |8-7| = 1
- |6-7| = 1
- |9-7| = 2
- |5-7| = 2
- Simpangan Rata-rata = (0 + 1 + 1 + 2 + 2) / 5 = 6 / 5 = 1.2
- Variansi:
- (7-7)² = 0
- (8-7)² = 1
- (6-7)² = 1
- (9-7)² = 4
- (5-7)² = 4
- Variansi = (0 + 1 + 1 + 4 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2
- Simpangan Baku: √Variansi = √2 ≈ 1.41
Jadi, jangkauan = 4, simpangan rata-rata = 1.2, variansi = 2, dan simpangan baku ≈ 1.41.
III. Peluang: Kombinasi, Permutasi, dan Kejadian Saling Lepas/Bebas
Peluang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Dalam semester ini, kita mempelajari konsep kombinasi, permutasi, dan peluang kejadian saling lepas/bebas.
Konsep Kunci:
- Kaidah Pencacahan: Menghitung banyaknya kemungkinan susunan atau pilihan.
- Permutasi: Susunan objek dengan memperhatikan urutan. Rumus: nPr = n! / (n-r)!
- Kombinasi: Susunan objek tanpa memperhatikan urutan. Rumus: nCr = n! / (r! * (n-r)!)
- Peluang: Perbandingan antara banyaknya kejadian yang diinginkan dengan banyaknya semua kejadian yang mungkin.
- Kejadian Saling Lepas: Dua kejadian yang tidak dapat terjadi bersamaan. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- Kejadian Saling Bebas: Dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi. P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Contoh Soal dan Pembahasan:
Soal 1: Berapa banyak cara menyusun 3 huruf dari kata "CERDAS"?
Pembahasan:
Kita menggunakan permutasi karena urutan huruf penting. Ada 6 huruf dalam kata "CERDAS" dan kita ingin menyusun 3 huruf.
6P3 = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = (6 5 4 3 2 1) / (3 2 1) = 6 5 * 4 = 120
Jadi, ada 120 cara menyusun 3 huruf dari kata "CERDAS".
Soal 2: Dari 10 orang siswa, akan dipilih 4 orang untuk mengikuti lomba. Berapa banyak cara memilih 4 orang siswa tersebut?
Pembahasan:
Kita menggunakan kombinasi karena urutan siswa yang dipilih tidak penting.
10C4 = 10! / (4! (10-4)!) = 10! / (4! 6!) = (10 9 8 7 6!) / (4 3 2 1 6!) = (10 9 8 7) / (4 3 2 1) = 210
Jadi, ada 210 cara memilih 4 orang siswa dari 10 orang.
Soal 3: Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang muncul mata dadu genap?
Pembahasan:
Banyaknya kejadian yang mungkin = 6 (mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Banyaknya kejadian yang diinginkan (mata dadu genap) = 3 (mata dadu 2, 4, 6)
Peluang = (Banyaknya kejadian yang diinginkan) / (Banyaknya kejadian yang mungkin) = 3 / 6 = 1/2
Jadi, peluang muncul mata dadu genap adalah 1/2.
Soal 4: Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang muncul mata dadu berjumlah 7?
Pembahasan:
Banyaknya kejadian yang mungkin = 6 * 6 = 36 (karena setiap dadu memiliki 6 kemungkinan)
Kejadian yang diinginkan (mata dadu berjumlah 7): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) Ada 6 kejadian.
Peluang = 6 / 36 = 1/6
Jadi, peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah 1/6.
Soal 5: Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Jika diambil dua kelereng secara acak tanpa pengembalian, berapa peluang terambil kedua kelereng berwarna merah?
Pembahasan:
- Peluang kelereng pertama merah: 5/8
- Setelah satu kelereng merah diambil, sisa 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru (total 7 kelereng).
- Peluang kelereng kedua merah: 4/7
- Peluang kedua kelereng merah: (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14
Jadi, peluang terambil kedua kelereng berwarna merah adalah 5/14.
Kesimpulan:
Latihan soal dan pembahasan di atas hanyalah sebagian kecil dari materi Matematika Wajib kelas 12 semester 1. Untuk penguasaan yang lebih baik, penting untuk:
- Memahami konsep dasar setiap materi.
- Mengerjakan berbagai jenis soal dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
- Mencari referensi dari berbagai sumber (buku, internet, guru).
- Berlatih secara rutin dan konsisten.
- Berdiskusi dengan teman atau guru jika menemui kesulitan.
Dengan persiapan yang matang, Anda akan mampu meraih hasil yang optimal dalam ujian Matematika Wajib kelas 12 semester 1. Selamat belajar!