Menguasai Matematika SMP Kelas 7 Semester 1: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Matematika seringkali dianggap sebagai mata pelajaran yang menantang, namun dengan pemahaman yang tepat dan latihan yang konsisten, konsep-konsepnya dapat dikuasai dengan baik. Terutama bagi siswa SMP kelas 7 yang baru memasuki jenjang pendidikan menengah, semester 1 menjadi periode krusial untuk membangun fondasi matematika yang kuat. Kurikulum 2013 yang menekankan pada pemahaman konsep, penalaran, dan aplikasi, menuntut siswa untuk tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami makna di baliknya.
Artikel ini hadir untuk membantu para siswa SMP kelas 7 semester 1 dalam menghadapi materi pelajaran matematika. Kami akan menyajikan berbagai contoh soal yang mencakup topik-topik utama yang diajarkan, disertai dengan pembahasan yang rinci dan mudah dipahami. Tujuannya adalah agar siswa dapat berlatih, mengidentifikasi area yang masih perlu diperkuat, dan pada akhirnya, membangun kepercayaan diri dalam menyelesaikan soal-soal matematika.
Topik Utama Matematika SMP Kelas 7 Semester 1 Kurikulum 2013
Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang umumnya dibahas dalam matematika SMP kelas 7 semester 1 berdasarkan Kurikulum 2013:
- Bilangan Bulat: Meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, serta pemahaman tentang garis bilangan dan sifat-sifat operasi bilangan bulat.
- Bilangan Pecahan: Mencakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan pecahan, serta mengubah bentuk pecahan (biasa, campuran, desimal, persen).
- Bilangan Desimal: Operasi hitung bilangan desimal, perbandingan, dan skala.
- Perbandingan dan Skala: Konsep perbandingan senilai dan berbalik nilai, serta penerapannya dalam skala peta.
- Aljabar: Pengenalan variabel, konstanta, suku, bentuk aljabar, dan operasi penjumlahan serta pengurangan bentuk aljabar.
- Himpunan: Pengertian himpunan, anggota himpunan, himpunan kosong, semesta, diagram Venn, operasi himpunan (irisan, gabungan, selisih).
Mari kita selami contoh-contoh soal beserta pembahasannya untuk setiap topik.
>
Bagian 1: Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan dasar dari banyak konsep matematika. Pemahaman yang baik tentang operasi hitungnya sangat penting.
Contoh Soal 1.1:
Hitunglah hasil dari:
a. $15 + (-8) – (-3)$
b. $-25 times 4 : (-5)$
Pembahasan:
a. Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memperhatikan aturan tanda dalam operasi penjumlahan dan pengurangan.
$15 + (-8) – (-3)$
Pertama, kita selesaikan $15 + (-8)$. Ini sama dengan $15 – 8 = 7$.
Selanjutnya, kita selesaikan $- (-3)$. Tanda negatif bertemu negatif menjadi positif, jadi $-(-3) = +3$.
Maka, $7 + 3 = 10$.
Jadi, hasil dari $15 + (-8) – (-3)$ adalah 10.
b. Untuk soal perkalian dan pembagian, kita perlu memperhatikan urutan operasi dan aturan tanda. Dalam kasus ini, perkalian dan pembagian memiliki prioritas yang sama, sehingga kita kerjakan dari kiri ke kanan.
$-25 times 4 : (-5)$
Pertama, $-25 times 4$. Negatif dikali positif hasilnya negatif. $-25 times 4 = -100$.
Selanjutnya, $-100 : (-5)$. Negatif dibagi negatif hasilnya positif. $-100 : (-5) = 20$.
Jadi, hasil dari $-25 times 4 : (-5)$ adalah 20.
Contoh Soal 1.2:
Suhu di puncak gunung pada pukul 06.00 pagi adalah $-5^circ C$. Menjelang siang, suhu naik $12^circ C$. Pada malam hari, suhu turun $7^circ C$. Berapakah suhu di puncak gunung pada malam hari?
Pembahasan:
Kita bisa memodelkan situasi ini menggunakan operasi bilangan bulat.
Suhu awal = $-5^circ C$
Kenaikan suhu = $+12^circ C$
Penurunan suhu = $-7^circ C$
Suhu menjelang siang = Suhu awal + Kenaikan suhu
Suhu menjelang siang = $-5^circ C + 12^circ C = 7^circ C$
Suhu pada malam hari = Suhu menjelang siang – Penurunan suhu
Suhu pada malam hari = $7^circ C – 7^circ C = 0^circ C$
Jadi, suhu di puncak gunung pada malam hari adalah $0^circ C$.
>
Bagian 2: Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah representasi bagian dari keseluruhan. Memahami operasinya sangat penting dalam berbagai perhitungan.
Contoh Soal 2.1:
Hitunglah hasil dari:
a. $frac23 + frac14$
b. $frac56 – frac13$
c. $frac34 times frac25$
d. $frac78 : frac12$
Pembahasan:
a. Untuk penjumlahan pecahan, kita perlu menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 4 adalah 12.
$frac23 = frac2 times 43 times 4 = frac812$
$frac14 = frac1 times 34 times 3 = frac312$
Maka, $frac812 + frac312 = frac8+312 = frac1112$.
b. Untuk pengurangan pecahan, kita juga perlu menyamakan penyebutnya. KPK dari 6 dan 3 adalah 6.
$frac56$ tetap $frac56$.
$frac13 = frac1 times 23 times 2 = frac26$
Maka, $frac56 – frac26 = frac5-26 = frac36$. Pecahan ini bisa disederhanakan menjadi $frac12$.
c. Untuk perkalian pecahan, kita mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.
$frac34 times frac25 = frac3 times 24 times 5 = frac620$. Pecahan ini bisa disederhanakan menjadi $frac310$.
d. Untuk pembagian pecahan, kita mengubahnya menjadi perkalian dengan membalik pembilang dan penyebut dari pecahan pembagi.
$frac78 : frac12 = frac78 times frac21 = frac7 times 28 times 1 = frac148$. Pecahan ini bisa disederhanakan menjadi $frac74$ atau $1frac34$.
Contoh Soal 2.2:
Seorang tukang roti memiliki persediaan tepung sebanyak $3frac12$ kg. Ia menggunakan $frac34$ kg untuk membuat kue bolu dan $frac12$ kg untuk membuat roti manis. Berapa sisa tepung tukang roti tersebut?
Pembahasan:
Pertama, kita ubah bentuk bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
$3frac12 = frac(3 times 2) + 12 = frac72$ kg.
Jumlah tepung yang digunakan = Tepung untuk kue bolu + Tepung untuk roti manis
Jumlah tepung yang digunakan = $frac34 text kg + frac12 text kg$
Untuk menjumlahkan, kita samakan penyebutnya (KPK dari 4 dan 2 adalah 4).
$frac12 = frac1 times 22 times 2 = frac24$
Jumlah tepung yang digunakan = $frac34 text kg + frac24 text kg = frac3+24 text kg = frac54 text kg$.
Sisa tepung = Persediaan awal – Jumlah tepung yang digunakan
Sisa tepung = $frac72 text kg – frac54 text kg$
Kita samakan penyebutnya (KPK dari 2 dan 4 adalah 4).
$frac72 = frac7 times 22 times 2 = frac144$
Sisa tepung = $frac144 text kg – frac54 text kg = frac14-54 text kg = frac94 text kg$.
Dalam bentuk bilangan campuran, $frac94 text kg = 2frac14 text kg$.
Jadi, sisa tepung tukang roti tersebut adalah $2frac14$ kg atau $frac94$ kg.
>
Bagian 3: Bilangan Desimal, Perbandingan, dan Skala
Bagian ini mencakup operasi pada bilangan desimal dan penerapan konsep perbandingan serta skala.
Contoh Soal 3.1:
Hitunglah hasil dari:
a. $12.75 + 3.4$
b. $8.9 – 2.15$
c. $2.5 times 1.2$
d. $7.5 : 0.5$
Pembahasan:
a. Untuk penjumlahan desimal, sejajarkan koma desimalnya.
12.75
-
3.40
16.15
b. Untuk pengurangan desimal, sejajarkan koma desimalnya.
8.90
-
2.15
6.75
c. Untuk perkalian desimal, kalikan seperti bilangan bulat, lalu tentukan posisi koma desimal pada hasil. Jumlah angka di belakang koma pada pengali (2.5 memiliki 1 angka, 1.2 memiliki 1 angka) adalah 2.
25
$times$ 12
50
250
300
Karena ada 2 angka di belakang koma, hasil akhirnya adalah 3.00 atau 3.
d. Untuk pembagian desimal, kita bisa membuatnya menjadi pembagian bilangan bulat dengan mengalikan kedua bilangan dengan pangkat 10 yang sesuai agar penyebutnya menjadi bilangan bulat.
$7.5 : 0.5$ sama dengan $75 : 5$.
$75 : 5 = 15$.
Contoh Soal 3.2:
Jarak antara rumah Adi dan sekolah pada peta adalah 5 cm. Jika skala peta adalah 1 : 200.000, berapakah jarak sebenarnya antara rumah Adi dan sekolah?
Pembahasan:
Skala 1 : 200.000 berarti setiap 1 cm pada peta mewakili 200.000 cm jarak sebenarnya.
Jarak pada peta = 5 cm
Skala = 1 : 200.000
Jarak sebenarnya = Jarak pada peta $times$ Nilai skala
Jarak sebenarnya = 5 cm $times$ 200.000
Jarak sebenarnya = 1.000.000 cm
Untuk mengubahnya menjadi kilometer, kita perlu membagi dengan 100.000 (karena 1 km = 100.000 cm).
Jarak sebenarnya = $frac1.000.000 text cm100.000 text cm/km = 10 text km$.
Jadi, jarak sebenarnya antara rumah Adi dan sekolah adalah 10 km.
Contoh Soal 3.3:
Dalam sebuah kelas terdapat perbandingan siswa laki-laki dan perempuan adalah 3 : 4. Jika jumlah siswa perempuan adalah 16 orang, berapakah jumlah seluruh siswa dalam kelas tersebut?
Pembahasan:
Perbandingan laki-laki : perempuan = 3 : 4
Jumlah perempuan = 16 orang.
Ini berarti 4 bagian dari perbandingan mewakili 16 orang.
1 bagian = $frac16 text orang4 = 4$ orang.
Jumlah siswa laki-laki = 3 bagian $times$ 4 orang/bagian = 12 orang.
Jumlah seluruh siswa = Jumlah laki-laki + Jumlah perempuan
Jumlah seluruh siswa = 12 orang + 16 orang = 28 orang.
Jadi, jumlah seluruh siswa dalam kelas tersebut adalah 28 orang.
>
Bagian 4: Aljabar
Aljabar memperkenalkan konsep variabel dan ekspresi matematika yang lebih abstrak.
Contoh Soal 4.1:
Tentukan suku, koefisien, dan konstanta dari bentuk aljabar berikut:
a. $5x + 7y – 3$
b. $a^2 – 4b + 9$
Pembahasan:
a. $5x + 7y – 3$
- Suku: $5x$, $7y$, dan $-3$. (Suku adalah bagian-bagian dari ekspresi yang dipisahkan oleh tanda tambah atau kurang).
- Koefisien: Koefisien adalah angka yang menyertai variabel. Koefisien dari $x$ adalah 5, dan koefisien dari $y$ adalah 7.
- Konstanta: Konstanta adalah suku yang tidak memiliki variabel. Dalam ekspresi ini, konstanta adalah $-3$.
b. $a^2 – 4b + 9$
- Suku: $a^2$, $-4b$, dan $9$.
- Koefisien: Koefisien dari $a^2$ adalah 1 (karena $a^2$ sama dengan $1 cdot a^2$), dan koefisien dari $b$ adalah $-4$.
- Konstanta: Konstanta adalah $9$.
Contoh Soal 4.2:
Sederhanakan bentuk aljabar berikut:
a. $7a + 5b – 3a + 2b$
b. $(3x + 5) + (2x – 1)$
Pembahasan:
a. Untuk menyederhanakan, kita kelompokkan suku-suku yang sejenis (memiliki variabel yang sama).
$7a + 5b – 3a + 2b = (7a – 3a) + (5b + 2b)$
$= 4a + 7b$
b. Untuk menjumlahkan bentuk aljabar, kita hilangkan tanda kurung (jika tidak ada tanda negatif di depannya, tanda di dalam kurung tetap) lalu kelompokkan suku-suku sejenis.
$(3x + 5) + (2x – 1) = 3x + 5 + 2x – 1$
$= (3x + 2x) + (5 – 1)$
$= 5x + 4$
Contoh Soal 4.3:
Panjang sebuah persegi panjang adalah $2p + 3$ cm dan lebarnya adalah $p – 1$ cm. Tentukan keliling persegi panjang tersebut dalam bentuk aljabar.
Pembahasan:
Rumus keliling persegi panjang adalah $K = 2 times (textpanjang + textlebar)$.
Diketahui:
Panjang = $2p + 3$ cm
Lebar = $p – 1$ cm
Keliling = $2 times ((2p + 3) + (p – 1))$
Pertama, sederhanakan bagian dalam kurung:
$(2p + 3) + (p – 1) = (2p + p) + (3 – 1) = 3p + 2$
Sekarang, kalikan dengan 2:
Keliling = $2 times (3p + 2)$
Keliling = $2 times 3p + 2 times 2$
Keliling = $6p + 4$
Jadi, keliling persegi panjang tersebut dalam bentuk aljabar adalah $(6p + 4)$ cm.
>
Bagian 5: Himpunan
Himpunan adalah konsep dasar dalam matematika yang mempelajari kumpulan objek.
Contoh Soal 5.1:
Diketahui himpunan $A = 1, 2, 3, 4, 5$ dan himpunan $B = 4, 5, 6, 7, 8$. Tentukan:
a. $A cup B$ (Gabungan)
b. $A cap B$ (Irisan)
c. $A – B$ (Selisih)
Pembahasan:
a. Gabungan ($A cup B$): Himpunan yang anggotanya merupakan gabungan dari anggota himpunan A dan himpunan B. Anggota yang sama hanya ditulis sekali.
$A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$
b. Irisan ($A cap B$): Himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan (sama) dari himpunan A dan himpunan B.
$A cap B = 4, 5$
c. Selisih ($A – B$): Himpunan yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B.
$A – B = 1, 2, 3$
Contoh Soal 5.2:
Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa. Diketahui 15 siswa gemar sepak bola, 12 siswa gemar basket, dan 7 siswa gemar keduanya. Gambarlah diagram Venn dan tentukan:
a. Jumlah siswa yang hanya gemar sepak bola.
b. Jumlah siswa yang hanya gemar basket.
c. Jumlah siswa yang tidak gemar keduanya.
Pembahasan:
Misalkan:
$S$ = himpunan seluruh siswa di kelas (n(S) = 30)
$A$ = himpunan siswa yang gemar sepak bola (n(A) = 15)
$B$ = himpunan siswa yang gemar basket (n(B) = 12)
$A cap B$ = himpunan siswa yang gemar keduanya (n($A cap B$) = 7)
a. Jumlah siswa yang hanya gemar sepak bola:
Ini adalah anggota himpunan A yang tidak termasuk dalam irisan.
n(hanya A) = n(A) – n($A cap B$)
n(hanya A) = 15 – 7 = 8 siswa.
b. Jumlah siswa yang hanya gemar basket:
Ini adalah anggota himpunan B yang tidak termasuk dalam irisan.
n(hanya B) = n(B) – n($A cap B$)
n(hanya B) = 12 – 7 = 5 siswa.
c. Jumlah siswa yang tidak gemar keduanya:
Jumlah siswa yang gemar salah satu atau keduanya adalah jumlah siswa yang hanya gemar sepak bola + jumlah siswa yang hanya gemar basket + jumlah siswa yang gemar keduanya.
Jumlah gemar = n(hanya A) + n(hanya B) + n($A cap B$)
Jumlah gemar = 8 + 5 + 7 = 20 siswa.
Jumlah siswa yang tidak gemar keduanya = Jumlah seluruh siswa – Jumlah siswa yang gemar
Jumlah tidak gemar = n(S) – Jumlah gemar
Jumlah tidak gemar = 30 – 20 = 10 siswa.
Diagram Venn:
- Buat persegi panjang sebagai semesta (S).
- Gambar dua lingkaran yang saling beririsan di dalamnya. Beri label lingkaran pertama "Sepak Bola (A)" dan yang kedua "Basket (B)".
- Di daerah irisan kedua lingkaran, tulis angka 7.
- Di bagian lingkaran A yang tidak beririsan, tulis angka 8 (hanya sepak bola).
- Di bagian lingkaran B yang tidak beririsan, tulis angka 5 (hanya basket).
- Di luar kedua lingkaran tetapi di dalam persegi panjang, tulis angka 10 (tidak gemar keduanya).
>
Penutup
Menguasai materi matematika kelas 7 semester 1 adalah langkah penting untuk kesuksesan di jenjang pendidikan selanjutnya. Dengan memahami konsep dasar dan berlatih secara rutin melalui berbagai contoh soal seperti yang telah dibahas, siswa diharapkan dapat meningkatkan kemampuan pemecahan masalah mereka.
Ingatlah bahwa matematika adalah tentang proses. Jangan ragu untuk mencoba, bahkan jika Anda membuat kesalahan. Setiap kesalahan adalah kesempatan untuk belajar dan memperbaiki diri. Diskusikan soal-soal yang sulit dengan teman, guru, atau keluarga. Teruslah berlatih, dan Anda pasti akan melihat kemajuan yang signifikan. Selamat belajar!
>